Use P-Delta para calcular efeitos de segunda ordem em estruturas

No post sobre efeitos globais de segunda ordem, falamos da aplicação do coeficiente γz como parâmetro de instabilidade ou como coeficiente de majoração de esforços para considerar, de forma aproximada, os efeitos de segunda ordem em estruturas de nós fixos e nós móveis. Uma análise das hipóteses básicas para a obtenção do coeficiente γz mostra que existem situações em que este método mostra-se inviável ou pouco confiável.

Os professores Augusto Vasconcelos e Mário Franco são os responsáveis pela proposta do coeficiente Gama-Z, que lista as situações:

• se, no topo do edifício, alguns pilares sobem para apoiar lajes de tamanho reduzido ou caixas de água;
• se há mudança brusca de inércias entre pavimentos, em especial entre o térreo e o primeiro andar;
• se os pés direitos forem muito diferentes entre os pavimentos;
• se há transição de pilares em vigas;
• se existe transição por rotação de 90o de pilares na passagem do andar, tipo para o térreo ou para a garagem;
• se são usados fatores de redução de inércias em pilares e vigas;
• em estruturas que já possuem deslocabilidades com cargas verticais;
• se existirem torções do pórtico espacial;
• se há recalques não uniformes nas fundações.

Efeitos de segunda ordem em estruturas: γz vs. P-∆

Podemos ver que o uso do γz deve ser analisado com muito cuidado nas estruturas de nós móveis que apresentam assimetria geométrica ou de cargas, incluídas as do vento. Tal condição apresenta-se em um grande número de estruturas de edifícios. Por outro lado, a NBR 6118:2007 indica a aplicação do coeficiente em estruturas com um mínimo de quatro andares e vários estudos indicam um valor limite de 1.3 para sua utilização.

A maioria dos programas comerciais atuais tem implementado processos P-∆ para considerar os efeitos de segunda ordem em estruturas que não possuem as limitações anteriores. Existem diferentes procedimentos de análise do efeito P-∆ . Na maioria dos casos, são técnicas iterativas que, com os computadores atuais, convergem rapidamente, exceto em casos de haver instabilidade estrutural. O mais indicado, portanto, é evitar simplificações e calcular os efeitos de segunda ordem utilizando o processo P-∆ .

O principal problema na análise de efeitos de segunda ordem em estruturas de concreto é a seleção de um modelo matemático adequado para estimar a rigidez à flexão (EI) para diferentes condições de carga. Tal dificuldade existe quando são considerados fatores como a carga axial, comportamento não linear do concreto e do aço, cargas cíclicas reversíveis e a variação da fissuração ao longo dos elementos. Uma estimativa razoável do momento de inércia I pode ser feita assumindo 0,4I para vigas e 0,8I para pilares (T. Paulay, 1978).

Consideração do efeito P-∆ em alguns programas comerciais

SAP2000NL: realiza uma análise iterativa para determinar as forças axiais provenientes do efeito P-∆ em estruturas reticuladas. As forças axiais são estimadas mediante uma análise preliminar da estrutura. Considerando essas forças, são resolvidas novamente as equações de equilíbrio. Este processo pode criar variações nas forças axiais. Devem-se realizar iterações adicionais até que as forças axiais e as deflexões laterais convirjam, atendendo a uma tolerância preestabelecida. O procedimento está baseado na utilização da matriz de rigidez geométrica. O SAP2000 pode analisar os efeitos P-∆ e P-d, porém, é recomendável fazer a análise do efeito P-∆ na estrutura. E usar fatores majoradores de momentos para determinar os efeitos P-d nos elementos.

CAD/TQS: o programa emprega a matriz de rigidez secante Ks = Ke + Kg(s) + Kl(r). Ke é a clássica matriz de rigidez elástica, Kg(s) é a matriz de rigidez geométrica e Kl(r) expressa as forças axiais decorrentes dos deslocamentos nodais perpendiculares às respectivas barras. O algoritmo de solução é o Newton-Raphson modificado, usando-se a matriz de rigidez geométrica como matriz secante. Nesta formulação, pode-se avaliar os efeitos P-∆ e P-d. Em algumas situações a solução pode divergir.

O sistema permite considerar a correção da rigidez axial dos pilares nas combinações com P-∆ . O processamento é iterativo: no primeiro passo, a carga vertical é aplicada com uma correção da rigidez. Nos demais é introduzida a carga horizontal e calculado os efeitos de segunda ordem em estruturas. O processo permite analisar a não linearidade geométrica nos casos onde o uso do γz seria limitado, tais como em edifícios altos e com efeitos de segunda ordem excessivamente altos.

ALTOQI EBERICK: o procedimento se baseia no estudo do equilíbrio da estrutura deformada após a análise de primeira ordem. Com os deslocamentos obtidos, são aplicadas cargas horizontais adicionais H em cada pilar do pórtico, função do deslocamento horizontal relativo e da carga axial:

H = N· ∆  / L
Sendo N a carga vertical, ∆ o deslocamento horizontal e L a altura do andar.

O conjunto das cargas fictícias é somado às cargas horizontais existentes. Uma nova análise leva a novos deslocamentos horizontais. Com os novos valores, o processo é repetido até que não haja diferença significativa entre duas iterações sucessivas.

Em algumas situações, o processo P-∆ pode não convergir, significando que a estrutura é excessivamente instável. Após a última iteração, caso haja convergência, obtêm-se os deslocamentos finais. Com base nestes deslocamentos serão calculados os esforços internos para o dimensionamento. O método da carga lateral fictícia adotado no Eberick apresenta resultados satisfatórios para estruturas pouco esbeltas. Consequentemente, de forma geral, mostra-se adequado para a análise dos efeitos P-∆ em estruturas reticuladas de concreto. Esta forma simplificada de análise não considera os efeitos P-d.

Veja no próximo post por que usar um software com P-∆ para considerar os efeitos de segunda ordem em estruturas.